Question

已知椭圆

x2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞o)的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率e=

2

2

，右准线方程为x=2．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点F₁的直线l与该椭圆相交于M、N两点，且|

F2M

+

F2N

|=

2 26

3

，求直线l的方程式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据椭圆离心率为

2

2

，右准线方程为x=2，建立方程，利用b²=a²-c²，即可求得椭圆的标准方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F₁（-1，0），F₂（1，0），先判断直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x+1），与椭圆方程联立，消元表示出x₁+x₂，y₁+y₂=k（x₁+x₂+2），用坐标表示出向量，利用|

F2M

+

F2N

|=

2 26

3

，即可求得直线l的方程．

解答：解：（Ⅰ）由题意，∵椭圆离心率为

2

2

，右准线方程为x=2．
∴

c

a

= 

2

2

，

a2

c

=2
∴a=

2

，c=1
∴b²=a²-c²=1
∴椭圆的标准方程为

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F₁（-1，0），F₂（1，0）
若直线l的斜率不存在时，则直线l的方程为x=-1，将x=-1代入椭圆方程可得y=±

2

2

不妨设M（-1，

2

2

），N（-1，-

2

2

），∴

F2M

+

F2N

= (-2，

2

2

)+(-2，-

2

2

)=(-4，0)
∴|

F2M

+

F2N

|=4，与题设矛盾，∴直线l的斜率存在．
设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+1）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），与椭圆方程联立，消元可得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0
∴x₁+x₂=

-4k2

1+2k2

，∴y₁+y₂=k（x₁+x₂+2）=

2k

1+2k2

∴

F2M

+

F2N

= (x1+x2-2，y1+y2)
∴|

F2M

+

F2N

|2=( x1+x2-2)2+(y1+y2)2=(

-4k2

1+2k2

-2)2+(

2k

1+2k2

)2=

4(16k4+9k2+1)

4k4+4k2+1

∵|

F2M

+

F2N

|=

2 26

3

∴

4(16k4+9k2+1)

4k4+4k2+1

=

104

9

∴40k⁴-23k²-17=0
∴k²=1（负值舍去）
∴k=±1
∴所求直线l的方程为y=x+1或y=-x-1．

点评：本题考查椭圆的性质与标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用韦达定理求解．