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精英家教网已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)左右两焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，且在x轴上方，PF2⊥F1F2，OH⊥PF1于H，OH=λOF1，λ∈[
1
3
，
1
2
]．
（1）求椭圆的离心率e的取值范围；
（2）当e取最大值时，过F1，F2，P的圆Q的截y轴的线段长为6，求圆Q的方程；
（3）在（2）的条件下，过椭圆右准线L上任一点A引圆Q的两条切线，切点分别为M，N，试探究直线MN是否过定点？若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由．
分析：由相似三角形知，
OH
PF2
=
OF1
PF1
，λ=
b2
a
2a-
b2
a
，2a2λ-b2λ=b2，2a2λ=b2（1+λ），
b2
a2
=
2λ
1+λ
．
（1）由e2=
c2
a2
=1-
b2
a2
=1-
2λ
1+λ
=
1-λ
1+λ
，知e=
1-λ
1+λ
，在[
1
3
，
1
2
]上单调递减．由此能求出椭圆的离心率e的取值范围．
（2）当e=
2
2
时，
c
a
=
2
2
，所以c=b=
2
2
a，2b2=a2．由PF2⊥F1F2，知PF1是圆的直径，圆心是PF1的中点，由此能求出圆Q的方程．
（3）椭圆方程是
x2
16
+
y2
8
=1，右准线方程为x=4
2
，由直线AM，AN是圆Q的两条切线，知切点M，N在以AQ为直径的圆上．设A点坐标为(4
2
，t)，由此能够导出直线MN必过定点．
解答：解：由相似三角形知，
OH
PF2
=
OF1
PF1
，λ=
b2
a
2a-
b2
a
，
∴2a2λ-b2λ=b2，2a2λ=b2（1+λ），
b2
a2
=
2λ
1+λ
．
（1）e2=
c2
a2
=1-
b2
a2
=1-
2λ
1+λ
=
1-λ
1+λ
，∴e=
1-λ
1+λ
，在[
1
3
，
1
2
]上单调递减．
∴λ=
1
2
时，e2最小
1
3
，λ=
1
3
时，e2最大
1
2
，
∴
1
3
≤e2≤
1
2
，∴
3
3
≤e≤
2
2
．
（2）当e=
2
2
时，
c
a
=
2
2
，∴c=b=
2
2
a，∴2b2=a2．
∵PF2⊥F1F2，∴PF1是圆的直径，圆心是PF1的中点，
∴在y轴上截得的弦长就是直径，∴PF1=6．
又PF1=2a-
b2
a
=2a-
a2
2a
=
3
2
a=6，∴a=4，c=b=2
2
．
∴PF2=
b2
a
=
a
2
=2，圆心Q（0，1），半径为3，x2+（y-1）2=9．
（3）椭圆方程是
x2
16
+
y2
8
=1，右准线方程为x=4
2
，
∵直线AM，AN是圆Q的两条切线，∴切点M，N在以AQ为直径的圆上．设A点坐标为(4
2
，t)，
∴该圆方程为x(x-4
2
)+(y-1)(y-t)=0．∴直线MN是两圆的公共弦，两圆方程相减得：4
2
x+(t-1)y-8-t=0，这就是直线MN的方程．
该直线化为：(y-1)t+4
2
x-y-8=0，
∴
y-1=0
4
2
x-y-8=0
，∴
x=
9
2
8
y=1

∴直线MN必过定点(
9
2
8
，1)．
点评：本题考查直线 和圆锥曲线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．
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已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，若|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=
1
2

（Ⅰ）求椭圆的标准方程，
（Ⅱ）若P是椭圆上的任意一点，求
PF1
•
PA
的取值范围
（III）直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的顶点），AH⊥MN垂足为H且
AH
2=
MH
•
HN
，求证：直线l恒过定点．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点F（-c，0）是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且不与y轴垂直的直线l交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为k1，k2
（1）当点D到两焦点的距离之和为4，直线l⊥x轴时，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率是
3
2
，且经过点M（2，1），直线y=
1
2
x+m(m＜0)与椭圆相交于A，B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当m=-1时，求△MAB的面积；
（3）求△MAB的内心的横坐标．
（2013•威海二模）已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为e=
6
3
，过右焦点做垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点，且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点M（0，2），直线l：y=1，过M任作一条不与y轴重合的直线与椭圆相交于A、B两点，若N为AB的中点，D为N在直线l上的射影，AB的中垂线与y轴交于点P．求证：
ND
•
MP
AB
2
为定值．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过F作y轴的平行线交椭圆于M、N两点，若|MN|=3，且椭圆离心率是方程2x2-5x+2=0的根，求椭圆方程．

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