Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），c=

a2-b2

，圆（x-c）²+y²=c²与椭圆恰有两个公共点，则椭圆的离心率e的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由题意，算出圆（x-c）²+y=c²的圆心为椭圆的右焦点且半径r=c．再根据圆与椭圆有两个公共点，得到椭圆的右顶点在圆的内部，由此建立关于a、c的不等式，解之可得椭圆的离心率．

解答：解：∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1中，c=

a2-b2

，
∴椭圆的焦点为F₁（-c，0）和F₂（c，0）．
由此可得圆（x-c）²+y=c²的圆心为F₂（c，0），半径r=c．
∵圆（x-c）²+y=c²与椭圆恰有两个公共点，
∴椭圆的右顶点（a，0）在圆的内部，
可得（a-c）²+0²=c²，解之得a＜2c，
因此椭圆的离心率e=

c

a

＞

1

2

，结合e∈（0，1），可得

1

2

＜e＜1．
故答案为：

1

2

＜e＜1

点评：本题给出以椭圆的右焦点为圆心且半径等于半焦距的圆，在该圆与椭圆有两个公共点的情况下，求椭圆的离心的范围．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、点与圆的位置关系等知识，属于中档题．