Question

【题目】已知函数的定义域为，且对任意的有. 当时，，.

（1）求并证明的奇偶性；

（2）判断的单调性并证明；

（3）求；若对任意恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）0,证明见解析，为奇函数；（2）单调递增，证明见解析；（3）.

【解析】

（1）令x＝y＝0，求解f（0）＝0．根据判奇偶即可.

（2）f（x）在R上是增函数，任取x1，x2∈R，且x1>x2，则x1﹣x2＞0，可证得，即有f（x1）>f（x2），得到结果；

（3）通过f（3）＝f（2）+f（1）求解即可．由f（4x﹣a）+f（6+2x+1）＞6转化为f（4x﹣a+6+2x+1）＞f（3）恒成立．利用函数的单调性，构造函数，转化求解即可．

（1），∴，

又因为的定义域为R关于原点对称

，∴，

所以为奇函数.

（2）则

，

因为，

所以，单调递增.

（3）∵，

若，

∴f（），由（2）知单调递增，

∴，

所以，

∴.