题目内容

如图，平行四边形ABCD中，点E是边BC（靠近点B）的三等分点，F是AB（靠近点A）的三等分点，P是AE与DF的交点，则 $数学公式$ 表示为________．

$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
分析：设 $\text{[math]}$ =λ $\text{[math]}$ ，可化简得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．根据 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，结合加法法则得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，再由两个向量共线的充要条件，列方程组并解之，得到实数λ的值，从而得到用 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ 的式子．
解答：设 $\text{[math]}$ =λ $\text{[math]}$ ，（λ＞0）
由向量减法法则，得（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）=λ（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ …（*）
又∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
∵向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是共线向量
∴存在非零实数μ，使 $\text{[math]}$ =μ $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，解之得λ=9
将λ=9代入（*）式，得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
点评：本题给出平行四边形边的三等分点，求一个向量用另外两个向量作为基底的组合．着重考查了向量加法、减法法则和两个向量共线的充要条件等知识，属于中档题．