题目内容
（2012•枣庄一模）如图，平行四边形ABCD中，点E是边BC（靠近点B）的三等分点，F是AB（靠近点A）的三等分点，P是AE与DF的交点，则| AP |
| AB |
| AD |
| AP |
| 3 |
| 10 |
| AB |
| 1 |
| 10 |
| AD |
| AP |
| 3 |
| 10 |
| AB |
| 1 |
| 10 |
| AD |
分析：设
=λ
，可化简得
=
+
．根据
=
，结合加法法则得
=
+
，再由两个向量共线的充要条件，列方程组并解之，得到实数λ的值，从而得到用
、
表示
的式子．
| DP |
| DF |
| AP |
| 1 |
| 1+λ |
| AD |
| λ |
| 3(1+λ) |
| AB |
| BE |
| 1 |
| 3 |
| AD |
| AE |
| 1 |
| 3 |
| AD |
| AB |
| AB |
| AD |
| AP |
解答：解：设
=λ
，（λ＞0）
由向量减法法则，得（
-
）=λ（
-
）
∴
=
+
=
+
…（*）
又∵
=
=
∴
=
+
=
+
∵向量
、
是共线向量
∴存在非零实数μ，使
=μ
，得
，解之得λ=9
将λ=9代入（*）式，得
=
+
故答案为：
=
+
| DP |
| DF |
由向量减法法则，得（
| AP |
| AD |
| AF |
| AP |
∴
| AP |
| 1 |
| 1+λ |
| AD |
| λ |
| 1+λ |
| AF |
| 1 |
| 1+λ |
| AD |
| λ |
| 3(1+λ) |
| AB |
又∵
| BE |
| 1 |
| 3 |
| BC |
| 1 |
| 3 |
| AD |
∴
| AE |
| AB |
| BE |
| 1 |
| 3 |
| AD |
| AB |
∵向量
| AP |
| AE |
∴存在非零实数μ，使
| AP |
| AE |
|
将λ=9代入（*）式，得
| AP |
| 3 |
| 10 |
| AB |
| 1 |
| 10 |
| AD |
故答案为：
| AP |
| 3 |
| 10 |
| AB |
| 1 |
| 10 |
| AD |
点评：本题给出平行四边形边的三等分点，求一个向量用另外两个向量作为基底的组合．着重考查了向量加法、减法法则和两个向量共线的充要条件等知识，属于中档题．
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