Question

已知sin

x

4

、cos

x

4

是y的方程y²+py+q=0的两个实根，设函数f（x）=p²+2（

3

-1）q-2cos²

x

4

，试问
（1）求f（x）的最值；（2）求f（x）的单增区间．

Answer 1

分析：（1）利用韦达定理求出p，q代入f（x）=p²+2（

3

-1）q-2cos²

x

4

，求f（x）的表达式，然后求其最值；
（2）根据函数f（x）的表达式，利用正弦函数的增区间，求出函数f（x）单增区间．

解答：解：（1）根与系数的关系 sin

x

4

+cos

x

4

=-p
sin

x

4

cos

x

4

=q
p²=sin²

x

4

+cos²

x

4

+2sin

x

4

cos

x

4

=1+2q
f（x）=p²+2（

3

-1）q-2cos²

x

4

=1+2q+2（

3

-1）q-2cos²

x

4

=1-2cos²

x

4

+2

3

q
1-2cos²

x

4

=-cos

x

2

    2q=2sin

x

4

cos

x

4

=sin

x

2

f（x）=

3

sin

x

2

-cos

x

2

=2sin（

x

2

-

π

6

）
f（x）的最大值 2，最小值-2
（2）因为y=sinx的增区间：2kπ-

π

2

≤x≤2kπ+

π

2

 k∈Z，
所以f（x）=2sin（

x

2

-

π

6

）的单调增区间（-

2π

3

+4kπ，

4π

3

+4kπ）k∈Z．

点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，正弦函数的单调性，三角函数的最值，考查计算能力，是中档题．