Question

已知向量

a

=(cosx，sinx)，

b

=(2sinx，sinx-cosx)，

c

=(-1，0)．
（1）若x=

π

6

，求向量

a

与

c

的夹角；
（2）当x∈[

π

2

，

9π

8

]时，函数f(x)=p

a

•

b

+q(p＞0)的最大值为1，最小值为-

2

，求p、q的值．

Answer 1

分析：（I）当x=

π

6

时可得，

a

•

c

=-cosx，|

a

|=|

c

|=1，代入向量的夹角公式可求
（II）由已知可得

a

•

b

=2sinxcosx+sin2x-sinxcosx=

2

2

sin(2x-

π

4

)+

1

2

，结合已知x∈[

1

2

π，

9

8

π]可求in（2x-

π

4

）的范围，结合已知即可求p，q

解答：解：（I）当x=

π

6

时，

a

•

c

=-cosx，|

a

|=|

c

|=1
∴cos＜

a

，

c

＞=

a • c

| a || c |

=-cosx=-

3

2

（4分）
∵0≤＜

a

，

c

＞≤π
∴＜

a

，

c

＞=

5π

6

（6分）
（II）∵

a

•

b

=2sinxcosx+sin2x-sinxcosx
=

1

2

sin2x+

1-cos2x

2

=

1

2

(sin2x-cos2x)+

1

2

=

2

2

sin(2x-

π

4

)+

1

2

（9分）
∵x∈[

1

2

π，

9

8

π]
∴2x-

π

4

∈[

3π

4

，2π]
∴sin（2x-

π

4

）∈[-1，

2

2

]（11分）
∵p＞0
∴

p+q=1 1- 2 2 p+q=- 2

∴

p=2 q=-1

（14分）

点评：本题主要考查了向量的数量积的性质、向量的夹角公式、数量积的坐标表示及三角函数的二倍角公式、辅助角公式等知识的综合应用，向量与三角的结合是高考的一个热点，要注意把握