Question

设的定义域为,的导函数为,且对任意正数均有，
(1)判断函数在上的单调性；
(2)设，比较与的大小，并证明你的结论；
(3)设，若，比较与的大小，并证明你的结论．

Answer 1

(Ⅰ) 在上是增函数.
(Ⅱ) .
（Ⅲ）

(Ⅰ)由于得，，而，则，
则，因此在上是增函数.
(Ⅱ)由于，，则，而在上是增函数，
则，即，∴（1），
同理 （2）
（1）+（2）得：，而，
因此 .
（Ⅲ）证法1: 由于，，则，而在上是增函数，则，即，
∴
同理

以上个不等式相加得：

而

证法2：数学归纳法
（1）当时，由（Ⅱ）知，不等式成立；
（2）当时，不等式成立，
即成立，
则当时， +
再由(Ⅱ)的结论, +
+
因此不等式对任意的自然数均成立.