Question

设点、分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上任意一点,且的最小值为.

（I）求椭圆的方程;

（II）设直线（直线、不重合）,若、均与椭圆相切，试探究在轴上是否存在定点,使点到、的距离之积恒为1?若存在,请求出点坐标;若不存在,请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）定点存在,其坐标为或.

【解析】

试题分析：本题考查椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系等数学知识，考查分析问题解决问题的能力和计算能力，考查函数思想和分类讨论思想.第一问，设出点坐标，用代数法解题，得到向量和的坐标，利用向量的数量积得出表达式，求出最小值，即可解出的值，即确定了的值，写出椭圆的方程；第二问，由于直线与椭圆相切，所以直线与椭圆方程联立消参，得出方程的判别式等于0，得出，同理，得出，所以，因为两直线不重合，所以，若存在点，利用点到直线的距离公式得到距离之积为1的表达式，解出的值，由于的值存在，所以存在点，写出坐标即可.

试题解析：（I）设,则有,

由最小值为得,

∴椭圆的方程为 4分

（II）把的方程代入椭圆方程得

∵直线与椭圆相切,∴,化简得

同理可得:

∴,若,则重合,不合题意,

∴,即 8分

设在轴上存在点,点到直线的距离之积为1,则

,即,

把代入并去绝对值整理,或者

前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的恒成立

则,解得;

综上所述,满足题意的定点存在,其坐标为或 . 12分

考点：1.椭圆的标准方程；2.向量的数量积；3.点到直线的距离公式.