题目内容

已知函数f（x）满足： $数学公式$ ，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x，y∈R），则f（2012）=________．

$\text{[math]}$
分析：由于题目问的是f（2012），项数较大，故马上判断函数势必是周期函数，所以集中精力找周期即可；周期的寻找方法可以是不完全归纳推理出，也可以是演绎推理得出．
解答：取x=1，y=0得f（0）= $\text{[math]}$ ，
取x=n，y=1，有f（n）=f（n+1）+f（n-1），
同理f（n+1）=f（n+2）+f（n）
联立得f（n+2）=-f（n-1）
所以f（n）=-f（n+3）=f（n+6）
所以函数是周期函数，周期T=6，
故f（2012）=f（2），
取x=1，y=1得f（2）=- $\text{[math]}$ ，
∴f（2012）=f（2）=- $\text{[math]}$ ，
故答案为- $\text{[math]}$ ；
点评：准确找出周期是此类问题（项数很大）的关键，分别可以用归纳法和演绎法得出周期，解题时根据自己熟悉的方法得出即可．

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