Question

（本小题满分13分）

如图6所示，在直角坐标平面上的矩形中，，，点，满足，，点是关于原点的对称点，直线与相交于点．

（Ⅰ）求点的轨迹方程；

（Ⅱ）若过点的直线与点的轨迹相交于，两点，求的面积的最大值．

              图6

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）

【解析】（Ⅰ）设点的坐标为，由图可知，，，

．

由，得点的坐标为；

由，得点的坐标为

．               ……分

于是，当时，直线的方程为

，                 ……①

直线的方程为． ……②

①②，得，即．

当时，点即为点，而点的坐标也满足上式．      

故点的轨迹方程为．                                                     ……分

（Ⅱ）设过点的直线的方程为，且设，．

由得．    ……③

由于上述方程的判别式，所以，是方程③的两根，

根据求根公式，可得．

又，所以的面积．              ……分

令，则．

于是，．

记，，则．

因为当时，，所以在上单调递增．

故当时，取得最小值，此时取得最大值．

综上所述，当时，即直线垂直于轴时，的面积取得最大值．

       ……分