Question

已知椭圆,为其右焦点，离心率为.

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；

(Ⅱ)若点，问是否存在直线，使与椭圆交于两点，且．若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）存在这样的直线，其斜率的取值范围是．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的参数之间的关系容易求解；（Ⅱ）假设存在这样的直线满足题意，并设．根据，可以得到与的关系式．由，得，利用一元二次方程的根与系数的关系，可以转化为和的关系，再利用判别式，即可判断是否存在这样的直线，以及存在时的取值范围．

试题解析：

（Ⅰ）由题意知：，∵离心率，∴，，

故所求椭圆C的标准方程为．                         4分

（Ⅱ）假设存在这样的直线满足题意，并设．

因为，，，

所以：

                            5分

由，得．

根据题意，，得，

且，

所以                         8分

即，

解得，或．                        10分

当时，（），显然符合题意；

当时，代入，得，解得．

综上所述，存在这样的直线，其斜率的取值范围是．          13分．

考点：椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、一元二次方程根和系数的关系．