Question

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，其右准线上l上存在点A（点A在x轴上方），使△AF₁F₂为等腰三角形．
（1）求离心率e的范围；
（2）若椭圆上的点到两焦点F₁，F₂的距离之和为，求△AF₁F₂的内切圆的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意有．设，由△AF₁F₂为等腰三角形，则只能是F₁F₂=F₂A，又，由此能得到离心率e的范围．
（2）由题意得椭圆的方程为，其离心率为，此时F₁（-1，0），F₂（1，0），l：x=2．
由F₁F₂=F₂A，可得，设内切圆的圆心B（x₁，y₁），，，
因为△AF₁F₂为等腰三角形，所以△AF₁F₂的内切圆的圆心点B到AF₁的距离等于点B到x轴的距离，由此能求出△AF₁F₂的内切圆的方程．
解答：解：（1）由题意有．（2分）
设，由△AF₁F₂为等腰三角形，则只能是F₁F₂=F₂A，又，
即，所以．（6分）
（2）由题意得椭圆的方程为，其离心率为，此时F₁（-1，0），F₂（1，0），l：x=2．
由F₁F₂=F₂A，可得．（10分）
设内切圆的圆心B（x₁，y₁），，，
因为△AF₁F₂为等腰三角形，所以△AF₁F₂的内切圆的圆心点B到AF₁的距离等于点B到x轴的距离，即，①
由点B在直线BF₂上，所以，②
由①②可得
所以△AF₁F₂的内切圆的方程为．（16分）
点评：本题考查椭圆的性质和应用，在解题时亦可先用面积求出半径，再求圆的方程．