Question

已知正项数列的前项和，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）定理：若函数在区间D上是凹函数，且存在，则当 时，总有．请根据上述定理，且已知函数是上的凹函数，判断与的大小；

（Ⅲ）求证：．

Answer 1

（Ⅰ）（）．                         

（Ⅱ）．                                               

（Ⅲ）由（Ⅱ），得．

解析:

（Ⅰ）时，或．

由于是正项数列，所以．

当时，

，                               

整理，得．

由于是正项数列，∴．

∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列．      

从而，当时也满足．

∴（）．                         

（Ⅱ）由（Ⅰ）知．

对于上的凹函数，有．

根据定理，得．　　　　　　　　　　　

整理，得．

令，得．          

∴，即．

∴．                                              

（Ⅲ）由（Ⅱ），得．