Question

13．设平行于y轴的直线分别与函数y₁=log₂x及y₂=log₂x+2的图象交于B，C两点，点A（m，n）位于函数y₂的图象上，若△ABC为正三角形，则m•2ⁿ=（　　）

• A． 8$\sqrt{3}$
• B． 12
• C． 12$\sqrt{3}$
• D． 15

Answer 1

分析 根据题意，设出A、B、C的坐标，由线段BC∥y轴，△ABC是等边三角形，得出AB、AC与BC的关系，求出p、q的值，计算出结果

解答 解：根据题意，设A（m，n），B（x₀，log₂x₀），C（x₀，2+log₂x₀），
∵线段BC∥y轴，△ABC是等边三角形，
∴BC=2，2+log₂m=n，
∴m=2^n-2，
∴4m=2ⁿ；
又x₀-m=$\sqrt{3}$，
∴m=x₀-$\sqrt{3}$，
∴x₀=m+$\sqrt{3}$；
又2+log₂x₀-n=1，
∴log₂x₀=n-1，x₀=2^n-1=$\frac{{2}^{n}}{2}$；
∴m+$\sqrt{3}$=$\frac{{2}^{n}}{2}$；2m+2$\sqrt{3}$=2ⁿ=4m，
∴m=$\sqrt{3}$，2ⁿ=4$\sqrt{3}$；
∴m•2ⁿ=$\sqrt{3}$×4$\sqrt{3}$=12；
故选：B

点评 本题考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用问题，也考查了指数，对数的运算问题，是较难的题目．