题目内容

已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=（-1，cosθ），
a
•
b
=-
2
，0＜θ＜π．
（Ⅰ）求θ；
（Ⅱ）求sin(
θ
2
+
π
4
)的值．
（Ⅰ）因为
a
=(sinθ，1)，
b
=（-1，cosθ），
∴
a
•
b
=-sinθ+cosθ=-
2
sin(θ-
π
4
)=-
2

得sin(θ-
π
4
)=1
∵0＜θ＜π
∴-
π
4
＜θ-
π
4
＜
3π
4

∴θ-
π
4
=
π
2
，
即θ=
3π
4
．
（Ⅱ）∵sin(
θ
2
+
π
4
)=sin
θ
2
cos
π
4
+cos
θ
2
sin
π
4
=
2
2
(sin
θ
2
+cos
θ
2
)(sin
θ
2
+cos
θ
2
)2=sin2
θ
2
+cos2
θ
2
+2sin
θ
2
cos
θ
2
=1+sinθ
由（Ⅰ）知：
θ
2
=
3π
8
∈[0 ， 
π
2
 ]，
∴sin
θ
2
＞0 ， cos
θ
2
＞0，
∴sin
θ
2
+cos
θ
2
=
1+sinθ
=
1+sin
3π
4
=
1+
2
2

∴sin(
θ
2
+
π
4
)=
2
2
(sin
θ
2
+cos
θ
2
)=
2
2
×
1+
2
2
=
2+
2
2
．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表达式．
（2）用“五点作图法”画出函数f（x）在一个周期上的图象．
（3）写出f（x）在[-π，π]上的单调递减区间．
（4）设关于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根为x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．
已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，则sin2θ+cos2θ的值为（　　）
已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此结论求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五点法”作出函数y=f（x）在长度为一个周期的闭区间的图象．
②求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
③求函数f（x）的最大值，并求出取得最大值时自变量x的取值集合
④函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？
⑤当x∈[0，π]，求函数y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作图
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