Question

（08年德州市质检理）（12分）已知与向量平行的直线L 过椭圆C:的焦点以及点（0,-2），椭圆C的中心关于直线L的对称点在直线上

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点E（-2，0）的直线m交椭圆C于点M、N且满足，（O为坐标原点），求直线的方程

Answer 1

解析：（1）直线L的方程为，①

过原点垂直于L的直线方程为，②

解①②得x =3/2                                                                                                                      2分

因为椭圆中心O（0,0）关于直线的对称点在直线上

∴

∵直线L过椭圆焦点．∴该焦点坐标为（2，0），∴ c=2，a²=6，b²=2

故椭圆C的方程为    ③                                                                         5分

（2）当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y=k （x+2），代入③并整理得

设M（X₁，Y₁）,N（X₂,Y₂），则   7分

∴

点O到直线m的距离                                                                               9分

∵即

又由得，

∴

而，即，

解得k=±

此时直线m的方程为                                                                      11分

当直线的斜率不存在时，直线的方程为= ―2,也有，

经检验。上述直线均满足

故直线的方程为                                                              12分