题目内容

已知抛物线x2＝2py(p＞0)，O为坐标原点，点M和N在抛物线上，且三角形MON是面积为的等边三角形，直线l与抛物线交于异于M、N的两点A、B，且kMA·kMB＝－2．

(Ⅰ)求抛物线的标准方程；

(Ⅱ)判断直线l中，是否存在使得三角形ABN面积最小的直线，若存在，求出直线的方程和三角形ABN面积的最小值；若不存在，请说明理由．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)设，则，

　　，，

　　又在抛物线上，，抛物线方程为．

　　(Ⅱ)设直线，

　　由

　　可得

由韦　　达定理可得

　　

　　

　　

　　，

　　到直线的距离为

　　

　　

　　＝

　　当时取最小值，经检验，此时满足

　　最小为


练习册系列答案
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已知抛物线x2＝2py(p＞0)，过点向抛物线引两条切线，A、B为切点，则线段AB的长度是

[　　]
A．

2p

B．

p

C．

D．

在直角坐标系xoy中，已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过点(2p，0)作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，给出下列结论：(1)OA⊥OB(2)△AOB的最小面积是4p2(3)x1x2＝－4p2其中正确的结论是________．

已知抛物线x2＝2py(p＞0)，过动点M(0，a)，且斜率为1的直线L与该抛物线交于不同两点A、B，|AB|≤2p，

(1)求a的取值范围；

(2)若p＝2，a＝3，求直线L与抛物线所围成的区域的面积；

如图，设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，M为直线y＝－2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B．

(Ⅰ)求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；

(Ⅱ)已知当M点的坐标为(2，－2p)时，求此时抛物线的方程；

(Ⅲ)是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x2＝2py(p＞0)上，其中点C满足(O为坐标原点)．若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由．

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