Question

如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，

∠BAD=∠FAB=90°，BC，BE，G、H分别为FA、FD的中点.

（Ⅰ）证明：四边形BCHG是平行四边形;

（Ⅱ）C、D、F、E四点是否共面？为什么？

（Ⅲ）设AB=BE.证明：平面ADE⊥平面CDE.

Answer 1

解法一：

 (Ⅰ)由题设知，FG=GA,FH=HD.

所以GH ，

又BC ,故GH BC.

所以四边形BCHG是平行四边形.

 (Ⅱ)C、D、F、E四点共面.理由如下：

由BE ,G是FA的中点知，BE GF，所以EF∥BG.

由(Ⅰ)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC、FH共面.又点D在直线FH上.

所以C、D、F、E四点共面.

(Ⅲ)连结EG，

由AB=BE，BE AG及∠BAG=90°知ABEG是正方形.故BG⊥EA.

由题设知，FA、AD、AB两两垂直，故AD⊥平面FABE，

因此EA是ED在平面FABE内的射影，

根据三垂线定理，BG⊥ED.

又ED∩EA＝E，所以BG⊥平面ADE.

由(Ⅰ)知，CH∥BG，所以CH⊥平面ADE.

由(Ⅱ)知F平面CDE.故CH平面CDE，得平面ADE⊥平面CDE.

解法二：

由题设知，FA、AB、AD两两互相垂直.

如图，以A为坐标原点，射线AB为x轴正方向建立直角坐标系A-xyz.

(Ⅰ)设AB=a,BC=b,BE=c，则由题设得

A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,b,0),D(0,2b,0),E(a,0,c),G(0,0,c),H(0,b,c).

所以，

于是

又点G不在直线BC上.

所以四边形BCHG是平行四边形.

(Ⅱ)C、D、F、E四点共面.理由如下：

由题设知，F(0,0,2c)，所以

(Ⅲ)由AB=BE，得c=a，所以

又

即       CH⊥AE,CH⊥AD,

又       AD∩AE =A,所以CH⊥平面ADE,

故由CH平面CDFE，得平面ADE⊥平面CDE.