Question

已知函数g(x)=alnx+

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x2-x-1和h（x）=1-ax，其中a≤1且a≠0，设f（x）=g（x）+h（x）．
（Ⅰ）若a=1，求g（x）在（1，g（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）=0恰有一解，求实数a的取值情况．

Answer 1

分析：（Ⅰ）a=1时，确定切点的坐标，求得切线斜率，利用点斜式，即可得到切线方程；
（Ⅱ） 求导函数，再分类讨论：（i）a＜0，可得函数在（0，1）上f′（x）＜0且在（1，+∞）上f′（x）＞0，从而可得f（x）在x=1处取得极小值，由f（x）=0恰有1解，可得f（1）=0，从而可求a的值；
（ii）当0＜a＜1时，确定函数的单调性，可得函数的极值，从而可得0＜a＜1满足f（x）=0恰有一解成立；
（iii）当a=1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（1）＜0，f（4）＞0，满足条件．

解答：解：（Ⅰ）a=1时，g(x)=lnx+

1

2

x2-x-1，g(1)=ln1+

1

2

-1-1=-

3

2

g′(x)=

1

x

+x-1
所以g（x）在(1，-

3

2

)处的切线斜率k=g′(x)|x=1=(

1

x

+x-1)|x=1=1
则过(1，-

3

2

)的切线方程为y+

3

2

=x-1，即所求切线方程为y=x-

5

2

…（4分）
（Ⅱ）f(x)=g(x)+h(x)=alnx+

1

2

x2-x-1+1-ax=alnx+

1

2

x2-(a+1)x，f（x）定义域为（0，+∞）
所以f′(x)=

a

x

+x-(a+1)=

x2-(a+1)x+a

x

=

(x-1)(x-a)

x

…（6分）
（i）若a＜0，令f′（x）=0，可得x=1
因为在（0，1）上f′（x）＜0且在（1，+∞）上f′（x）＞0
所以f（x）在x=1处取得极小值
即y极小值=f(1)=-a-

1

2

由f（x）=0恰有1解，则f（1）=0，即-a-

1

2

=0，解得a=-

1

2

…（8分）
（ii）当0＜a＜1时，x，f′（x），f（x）在（0，+∞）的变化情况如下表：

x	（0，a）	a	（a，1）	1	（1，+∞）
y′	+	0	-	0	+
y	↗	极大值	↘	极小值	↗

由上表可知，f（x）在x=1处取得极小值f极小值(x)=f(1)=

1

2

-(a+1)=-

1

2

-a＜0
由上表得f（x）在x=a处取得极大值f极大值(x)=f(a)=alna+

1

2

a2-(a+1)a=alna-

1

2

a2-a＜0
所以0＜a＜1满足f（x）=0恰有一解成立
即0＜a＜1满足条件…（10分）
（iii）当a=1时，f'（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（1）＜0，f（4）＞0
所以，a=1满足条件…（11分）
综上，若f（x）=0恰有一解，实数a的取值范围是0＜a≤1或a=-

1

2

…（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数与方程思想，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．