Question

 

    已知定义在上的函数满足

    ①，；

    ②当时，，且。

   （1）试判断函数的奇偶性；

   （2）判断函数在（0，+∞）上的单调性；

   （3）求函数在区间上的最大值；       

   （4）求不等式的解集。

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （1）令，则，得；

    再令，则，得.        

    对于条件，令，

    则，所以。

    又函数的定义域关于原点对称，所以函数为偶函数。…………3分

   （2）任取，且，则有.

    又∵当时，，∴

    而，

    所以函数在（0，+∞）上是增函数。  ………………6分

   （3）∵，又，

    ∴.        

    又由（1）知函数在区间上是偶函数且在上是增函数，

    ∴函数在区间上的最大值为…………9分

   （4）∵

    ∴原不等式等价于

    又函数为偶函数，且函数在上是增函数，

    ∴原不等式又等价于，

    即或，

    ∴不等式的解集为………………12分