Question

（2013•浙江模拟）已知函数f（x）=

x2

ex

．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设g（x）=x²+mx，h（x）=e^x-1，若在（0，+∞）上至少存在一点x₀，使得g（x₀）＞h（x₀）成立，求m的范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）可求得f′（x），令f′（x）＞0可求得其单调递增区间，由f′（x）＜0可求得其单调递减区间；
（Ⅱ）依题意，m＞

ex-x2-1

x

（x＞0）有解，构造函数φ（x）=

ex-x2-1

x

（x＞0），问题转化为m＞φ（x）_min即可，利用φ′（x）可求得φ（x）_min，从而可得m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=

2x-x2

ex

，
∴由f′（x）＞0得：0＜x＜2；
由f′（x）＜0得：x＜0或x＞2；
∴f（x）在（-∞，0），（2，+∞）上单调递减，在（0，2）上单调递增；
（Ⅱ）在（0，+∞）上至少存在一点x₀，使得g（x₀）＞h（x₀）成立，即不等式g（x）＞h（x）在（0，+∞）有解，
即：m＞

ex-x2-1

x

（x＞0）有解，
记φ（x）=

ex-x2-1

x

（x＞0），则m＞φ（x）_min，
φ′（x）=

xex-x2-ex+1

x2

=

(x-1)(ex-x-1)

x2

，
令t（x）=e^x-x-1，t′（x）=e^x-1，
∵x＞0，
∴e^x＞1，
∴t′（x）＞0，
∴t（x）＞t（0）=0，
∴φ（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，
∴φ（x）_min=φ（1）=e-2，
∴m的取值范围是（e-2，+∞）．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数恒成立问题，考查构造函数思想及分析运算能力，属于难题．