Question

数列{a_n}中a1=

1

2

，前n项和Sn=n2an-n( n-1 )，n=1，2，…．
（1）证明数列{ 

n+1

n

Sn}是等差数列；
（2）求S_n关于n的表达式；
（3）设 b_n=

1

n3

Sn，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用a_n=S_n-S_n-1，结合条件，可得

n+1

n

Sn-

n

n-1

Sn-1=1  ( n≥2 )，即可证得结论；
（2）由（1）得

n+1

n

Sn=2 S1+( n-1 )d=1+n-1=n，从而可求S_n的表达式；
（3）由（2）得b_n=

1

n( n+1 )

=

1

n

-

1

n+1

，利用拆项法可求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：证明：（1）由Sn=n2an-n( n-1 )，得Sn=n2(Sn-Sn-1)-n( n-1 )  ( n≥2 )．
∴( n2-1 )Sn-n2Sn-1=n( n-1 )，故

n+1

n

Sn-

n

n-1

Sn-1=1  ( n≥2 )．…（2分）
∴数列由{ 

n+1

n

Sn }是首项2S₁=2a₁=1，公差d=1的等差数列； …（4分）
解：（2）由（1）得

n+1

n

Sn=2 S1+( n-1 )d=1+n-1=n．…（6分）
∴Sn=

n2

n+1

；                                           …（8分）
（3）由（2），得b_n=

1

n3

Sn=

1

n3

•

n2

n+1

=

1

n( n+1 )

=

1

n

-

1

n+1

．…（10分）
∴数列{b_n}的前n项和Tn=b1+b2+…+bn-1+bn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

+

1

n

-

1

n+1

…（12分）
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．                                 …（14分）

点评：本题重点考查等差数列的定义，考查数列的通项，数列的求和等．解题的关键是利用a_n=S_n-S_n-1，进行化简，属于中档题．