Question

数列{a_n}中a₁=2，an+1=

1

2

(an+

1

an

)，{b_n}中bn • log9

an+1

an-1

=1，n∈N*．求证：数列{b_n}为等比数列，并求出其通项公式；

Answer 1

分析：把数列递推式an+1=

1

2

(an+

1

an

)代入bn • log9

an+1

an-1

=1，整理求得bn+1=

1

2

bn，进而可判断出：{b_n}为等比数列，公差为

1

2

首项可求，则数列的通项公式可得．

解答：证明：由bn+1 • log9

an+1+1

an+1-1

=1?bn+1 • log9

1 2 (an+ 1 an )+1

1 2 (an+ 1 an )-1

=1?bn+1 • log9(

an+1

an-1

)2=1?2bn+1 • log9

an+1

an-1

=1又bn • log9

an+1

an-1

=1
∴bn+1=

1

2

bn
又n=1时，b1 • log9

a1+1

a1-1

=1?b1=2
∴{b_n}为等比数列，b₁=2，q=

1

2

，∴bn=2 • (

1

2

)n-1=(

1

2

)n-2

点评：本题主要考查了数列与不等式的综合，数列的通项公式的运用．考查了不等式与数列知识的综合运用．