Question

数列{a_n} 中a₁=

1

2

，前n项和S_n满足S_n+1-S_n=(

1

2

)n+1（n∈N^*）．
（ I ） 求数列{a_n}的通项公式a_n以及前n项和S_n；
（Ⅱ）记  bn=

n+1

2an

（n∈N^*）求数列{b_n} 的前n项和T_n；
（Ⅲ）试确定T_n与

5n

4n+2

（n∈N^*）的大小并证明．

Answer 1

分析：（I）由s n+1-sn=(

1

2

)n+1得an+1=(

1

2

)n+1（n∈N^*），由此能求出数列{a_n}的通项公式a_n以及前n项和S_n．
（Ⅱ）由bn=

n+1

2an

=

n+1

2×2n

=

n+1

2n+1

，知Tn=

2

22

+

3

23

+

4

24

++

n+1

2n+1

，再由错位相减法能求出数列{b_n} 的前n项和T_n．
（Ⅲ）由Tn-

5n

4n+2

=

3

2

-

n+3

2n+1

-

5n

4n+2

=

(n+3)(2n-2n-1)

2n+1(2n+1)

，知确定T_n与

5n

4n+2

的大小关系等价于比较2ⁿ与2n+1的大小，经分类讨论知n=1，2时Tn＜

5n

4n+2

，n=3时Tn＞

5n

4n+2

．

解答：解：（I）s n+1-sn=(

1

2

)n+1得an+1=(

1

2

)n+1（n∈N^*）（1分）
又a₁=

1

2

，故an=(

1

2

)n（n∈N^*）（2分）
从而sn=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=1-(

1

2

)n（4分）
（Ⅱ）由（I）bn=

n+1

2an

=

n+1

2×2n

=

n+1

2n+1

Tn=

2

22

+

3

23

+

4

24

++

n+1

2n+1

，（5分）

1

2

Tn=    

2

23

+

3

24

+

4

25

++

n

2n+1

+

n+1

2n+2

（6分）
两式相减，得

1

2

Tn=    

2

22

+

1

23

+

1

24

+

1

25

++

1

2n+1

-

n+1

2n+2

（7分）
=

1

2

+

1 23 ×(1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

n+1

2n+2

=

3

4

-

1

2n+1

-

n+1

2n+2

（8分）
所以Tn=

3

2

-

1

2n

-

n+1

2n+1

=

3

2

-

n+3

2n+1

（9分），
（Ⅲ）Tn-

5n

4n+2

=

3

2

-

n+3

2n+1

-

5n

4n+2

=

(n+3)(2n-2n-1)

2n+1(2n+1)

于是确定T_n与

5n

4n+2

的大小关系等价于比较2ⁿ与2n+1的大小（10分）
n=1时2＜2+1，n=2时2²＜2×2+1，n=3时2³＞2×3+1（11分）
令g（x）=2^x-2x-1，g′（x）=2^xln2-2，x＞2时g（x）为增函数，（12分）
所以n≥3时g（n）≥g（3）=1＞0，2ⁿ≥2n+1，（13分）
综上所述n=1，2时Tn＜

5n

4n+2

n=3时Tn＞

5n

4n+2

（14分）

点评：本题考查数列的通项公式、前n项和的求法和数列与不等式的综合应用，解题时要认真审题，注意错位相关法的合理运用，恰当地进行等价转化．