Question

（08年东北师大附中四摸）（12分）已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，其一条渐近线方程是，且双曲线过点.

(1)     求此双曲线的方程；

(2)     设直线过点，其方向向量为，令向量满足.双曲线的右支上是否存在唯一一点，使得. 若存在，求出对应的值和的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

解析：（1）设双曲线的方程为，将点代入可得，

        双曲线的方程为.

（2）依题意，直线 的方程为 .设是双曲线右支上满足 的点，结合 ，得，

即点到直线的距离

              

①     若，则直线与双曲线的右支相交，此时双曲线的右支上有两个点到直线的距离为1，与题意矛盾；

② 若，则直线在双曲线右支的上方，故，从而

   . 又因为 ，所以

   .

当时，方程有唯一解 ，则；

当时，由得 ，此时方程有唯一解 ，则

综上所述，符合条件的值有两个：，此时；，此时.