Question

20．已知函数f（x）对任意实数x均有f（x）=-2f（x+1），且在区间[0，1）上，有表达式f（x）=x²．
（1）求f（-1），f（1.5）；
（2）写出f（x）在区间[-2，2]上的表达式．

Answer 1

分析 （1）利用f（x）=-2f（x+1），进行赋值，即可求f（-1），f（1.5）的值；
（2）设-2≤x＜-1，利用f（x）在区间[0，1]上有表达式f（x）=x²，f（x）=-2f（x+1），可求函数解析式．

解答 解：（1）∵f（x）=-2f（x+1），
∴f（-1）=-2f（0）=-2×0=0，
f（1.5）=f（1+0.5）=-$\frac{1}{2}$f（0.5）=-$\frac{1}{2}$×0.5²=-$\frac{1}{8}$，
（2）当x∈[-2，-1]时，（x+1+1）∈[0，1]；
∴f（x）=-2f（x+1）=4f（x+2）=4（x+2）²；
当x∈（-1，0）时，（x+1）∈（0，1）；
∴f（x）=-2f（x+1）=-2（x+2）²；
当x∈[0，1]时，f（x）=x²；
当x∈（1，2]时，（x-1）∈（0，1]；
f（x）=f（x-1+1）=-$\frac{1}{2}$f（x-1）=-$\frac{1}{2}$（x-1）²，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4（x+2）^{2}，x∈[-2，-1]}\\{-2（x+1）^{2}，x∈（-1，0）}\\{{x}^{2}，x∈[0，1]}\\{-\frac{1}{2}（x-1）^{2}，x∈（1，2]}\end{array}\right.$．

点评 本题考查函数的性质，考查函数的单调性，考查函数最值的讨论，考查学生分析解决问题的能力．