Question

（2012•菏泽一模）如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=3，D为C₁B的中点，P为AB边上的动点．
（Ⅰ）当点P为AB的中点时，证明DP∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）若DP⊥AB，求二面角D-CP-B的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）点P为AB的中点时，连接AC₁，因为在△ABC₁中DP是三角形的中位线，DP∥AC₁．然后证明DP∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）以AB的中点O为原点，CO、OB、过点O平行AA₁的直线分别为x、y、z轴，求出两个平面的法向量，利用向量的数量积，即可求二面角D-CP-B的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）当点P为AB的中点时，连接AC₁，
因为在△ABC₁中DP是三角形的中位线，DP∥AC₁．
AC₁?平面ACC₁A₁；
DP不在平面ACC₁A₁；
所以DP∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）解：如图，以AB的中点O为原点，CO、OB、过点O平行AA₁的直线分别为x、y、z轴，
建立空间直角坐标系O-xyz，在三角形ABC中，
则B（0，1，0），C（-

3

，0，0），P（0，

1

2

，0），
C₁（-

3

，0，3），D（-

3

2

，

1

2

，

3

2

），

CP

=(

3

，

1

2

，0)，

CD

=(

3

2

，

1

2

，

3

2

)，设平面CDP的法向量为

m

=（x，y，z），则

m • CP =0 m • CD =0

∴

3 x+ 1 2 y=0 3 2 x+ 1 2 y+ 3 2 z=0

，
不妨令x=

3

，则y=-6，z=1，∴

m

=(

3

，-6，1)，CBP的法向量为：

n

=（0，0，1）
∴二面角D-CP-B的余弦值为：conθ=

m • n

| m || n |

=

1

3+36+1

=

10

20

．

点评：本题考查与二面角有关的立体几何综合题，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，计算能力．