Question

19.如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点.

(Ⅰ)求和平面所成的角的大小；

(Ⅱ)证明平面；

(Ⅲ)求二面角的大小.

Answer 1

本小题考查直线与平面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识.考查空间想象能力、记忆能力和推理论证能力.

(Ⅰ)解：在四棱锥中，因底面，平面，故.

又，，从而平面.故在平面内的射影为，从而为和平面所成的角.

在中，，故.

所以和平面所成的角的大小为.

(Ⅱ)证明：在四棱锥中，

因底面，平面，故.

由条件，，面.

又面，.

由，，可得.

是的中点，，

.综上得平面.

(Ⅲ)解：过点作，垂足为，连结.由(Ⅱ)知，平面，在平面内的射影是，则.

因此是二面角的平面角.

由已知，可得.设，可得

，，，.

在中，，，则

.

在中，.

所以二面角的大小.