Question

函数f（x）=，g（x）=ax²-b（a、b、x∈R）），A={x|≤0}
（Ⅰ）求集合A；
（Ⅱ）如果b=0，对任意x∈A时，f（x）≥0恒成立，求实数a的范围；
（Ⅲ）如果b＞0，当“f（x）≥0对任意x∈A恒成立”与“g（x）≤0在x∈A内必有解”同时成立时，求3a+b的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）令，则x²=t²-1，
f（x）≤0即即t²-6t+8≤0，
∴2≤t≤4，所以，所以x∈[-，-]∪[，]，
即A=[-，-]∪[，]，…
（Ⅱ）f（x）≥0恒成立也就是f（x）=≥0恒成立，
∵，即，
∵，
a≤==恒成立，
因为=2，所以a．
…
（Ⅲ）对任意x∈A，f（x）≥0恒成立，a+b
得a+b，
由g（x）=ax²-b≤0有解，ax²-b≤0有解，即a≤，
∵b＞0，∴a≤=，≥3a． …
∴a，b满足条件所表示的区域，设3a+b=t，b=-3a+t，
根据可行域求出当a=，b=时取得．
所以3a+b的最大值为3． …
分析：（Ⅰ）利用换元法直接求解不等式的解集，即可得到集合A；
（Ⅱ）通过b=0，对任意x∈A时，f（x）≥0恒成立，转化为函数的最值问题，通过基本不等式，即可实数a的范围；
（Ⅲ）利用b＞0，当“f（x）≥0对任意x∈A恒成立”与“g（x）≤0在x∈A内必有解”同时成立，转化为线性规划问题，然后求3a+b的值．
点评：本题考查不等式的解法，函数的最值以及线性规划基本不等式的应用，考查转化思想与计算能力．