Question

如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，且BD：DC：AD=2：3：6．
（Ⅰ）求∠BAC的大小；
（Ⅱ）已知△ABC的面积为15，且E为AB的中点，求CE的长．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据直角三角形中正切的定义，得到tan∠DAC=且tan∠DAC=，利用和的正切公式算出tan∠BAC=1，从而得到∠BAC的大小为；
（II）根据三角形的面积公式，结合BD：DC：AD=2：3：6算出BD=2、DC=3、AD=6，从而得到AB、AC之长，最后利用三角形中线的性质即可算出CE的长．
解答：解：（I）∵AD⊥BC，DC：AD=3：6
∴Rt△ACD中，tan∠DAC==
同理可得Rt△ABD中，tan∠DAC=
因此，tan∠BAC==1
∵∠BAC∈（0，π），∴∠BAC的大小；
（II）设BD=2t（t＞0），则DC=3t，AD=6t
由已知得△ABC的面积S=BC•AD=15t²=15，解之得t=1
故BD=2，DC=3，AD=6
∴AB==2，AC==3
∵CE是△ABC的中线
∴AB²+（2CE）²=2（AC²+BC²），
可得（2）²+4CE²=2[（3）²+5²]，解之得CE=5．
点评：本题给出三角形ABC满足的条件，求角的大小和边的长．着重考查了直角三角形中三角函数的定义、三角形中线的性质等知识，属于中档题．