Question

对正整数n,设曲线y=xⁿ(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a_n,则的前n项和是　　　　.

Answer 1

【解析】曲线y=xⁿ(1-x)=xⁿ-xⁿ⁺¹,其导数为y′=nx^n-1-(n+1)xⁿ,所以切线斜率为k=n2^n-1-(n+1)2ⁿ=-(n+2)2^n-1,切点为(2,-2ⁿ),所以切线方程为y+2ⁿ=-(n+2)2^n-1(x-2),令x=0得,y+2ⁿ=(n+2)2ⁿ,即y=(n+1)2ⁿ,所以a_n=(n+1)2ⁿ,所以=2ⁿ,则是以2为首项,2为公比的等比数列,所以S_n==2ⁿ⁺¹-2.

答案:2ⁿ⁺¹-2