题目内容
对正整数n，设曲线y=xn（1-x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an．
（i）an=
（ii）数列{
}的前n项和Sn=
（i）an=
（n+1）2n
（n+1）2n
；（ii）数列{
| a n | n+1 |
2n+1-2
2n+1-2
．分析：（i）求出在x=2处的切线方程，进而得到切线与y轴交点的纵坐标；
（ii）数列{
}是等比数列，利用等比数列的求和公式计算，从而问题解决．
（ii）数列{
| a n |
| n+1 |
解答：解：（i）求导函数可得y'=nxn-1-（n+1）xn，
曲线y=xn（1-x）在x=2处的切线的斜率为k=n×2n-1-（n+1）×2n
∵切点为（2，-2n），
∴切线方程为y+2n=k（x-2），
令x=0，并将k代入可得an=（n+1）2n，
（ii）令bn=
=2n．
∴数列{
}的前n项和为2+22+23+…+2n=
=2n+1-2．
故答案为：（n+1）2n，2n+1-2．
曲线y=xn（1-x）在x=2处的切线的斜率为k=n×2n-1-（n+1）×2n
∵切点为（2，-2n），
∴切线方程为y+2n=k（x-2），
令x=0，并将k代入可得an=（n+1）2n，
（ii）令bn=
| a n |
| n+1 |
∴数列{
| a n |
| n+1 |
| 2(1-2n) |
| 1-2 |
故答案为：（n+1）2n，2n+1-2．
点评：本题考查应用导数求曲线切线的斜率，数列通项公式以及等比数列的前n项和的公式．
练习册系列答案
相关题目
对正整数n，设曲线y=xn（1-x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列{
}的前n项和的公式是（ ）
| an |
| n+1 |
| A、2n |
| B、2n-2 |
| C、2n+1 |
| D、2n+1-2 |
的前n项和为 。