Question

【题目】已知函数，.

（1）设函数，试讨论函数零点的个数；

（2）若，，求证：

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】试题分析：（1）先证明时，此时无零点；当，分两种情况讨论 的范围，分别利用导数研究函数的单调性，结合函数图象可得函数零点的个数；（2）要证明，要证，，只需证明要证，，只需证明,利用导数研究函数 的单调性，可证明的最小值大于零，从而可得结果.

试题解析：（1）函数F（x）的定义域为．当时，，所以．即F（x）在区间上没有零点．当时，，令 ．

只要讨论h（x）的零点即可．当时，，h（x）是减函数；当时，，h（x）是增函数．所以h（x）在区间最小值为．

显然，当时，,所以是的唯一的零点；当时，，所以F（x）没有零点；当时，，所以F（x）有两个零点．

（2）若，，要证，即要证，

下证要证，，

设

，令

，在上单调递减，在上单调递增.

在上只有一个零点 ，

，在上单调递减，在上单调递增.

= ，又 ，

，即证.