Question

【题目】已知函数， ，（ ）.

（1）讨论函数在上零点的个数；

（2）若有两个不同的零点， ，求证： .

（参考数据： 取， 取， 取）

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.

【解析】试题分析：

(1)对函数求导有： ，（ ）分类讨论可得：

当时， 在上无零点；

当或时， 在上有唯一零点；

当时， 在上有两个零点.

(2)由题知作差变形，原问题等价于

设， ，都在函数（），

利用对称差函数即可证得题中的结论.

试题解析：

（1）由题得， ，（ ）

当时， 单调递增；

当时， 单调递减.

∴当时，

①当即时无零点，故在上无零点.

②即时，由单调性可知在上有唯一零点为.

③即时，由于，

（ⅰ）若即显然

由单调性可知在上有两个零点.

（ⅱ）即，由单调性可知在上只有一个零点.

综上，当时， 在上无零点；

当或时， 在上有唯一零点；

当时， 在上有两个零点.

（2）由题知， ，

两式相加得，

两式相减得即

∴

即

不妨设， ，令（），

则∴在上单调递增，

则，∴即

∴

又

∴，即

令， ∴，∴在上单调递增，

又

∴，即.