题目内容
【题目】已知函数
， 
，（ 
）.
（1）讨论函数
在
上零点的个数；
（2）若
有两个不同的零点
， 
，求证： 
.
（参考数据： 
取
， 
取
， 
取
）
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.
【解析】试题分析：
(1)对函数求导有： 
，（ 
）分类讨论可得：
当
时， 
在
上无零点；
当
或
时， 
在
上有唯一零点；
当
时， 
在
上有两个零点.
(2)由题知作差变形，原问题等价于
设
， 
，都在函数
（
），
利用对称差函数即可证得题中的结论.
试题解析：
（1）由题得， 
，（ 
）
当
时
， 
单调递增；
当
时
， 
单调递减.
∴当
时， 
①当
即
时
无零点，故
在
上无零点.
②
即
时，由单调性可知
在
上有唯一零点为
.
③
即
时，由于
， 
（ⅰ）若
即
显然
由单调性可知
在
上有两个零点.
（ⅱ）
即
，由单调性可知
在
上只有一个零点.
综上，当
时， 
在
上无零点；
当
或
时， 
在
上有唯一零点；
当
时， 
在
上有两个零点.
（2）由题知
， 
，
两式相加得
，
两式相减得
即
∴
即
不妨设
， 
，令
（
），
则
∴
在
上单调递增，
则
，∴
即
∴
又
∴
，即
令
， 
∴
，∴
在
上单调递增，
又
∴
，即
.
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