Question

【题目】已知函数（）.

（1）判断函数在区间上零点的个数；

（2）当时，若在（）上存在一点，使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2) .

【解析】试题分析： 令， ，得，

记， ，求得导数，利用函数单调性可以求得函数极值点以此判断函数在上的零点个数；

本题不宜分离，因此作差构造函数，利用分类讨论法求函数最小值，由于，所以讨论与的大小，分三种情况，当， 的最小值为， ， 的最小值为，当， 的最小值为，解对应不等式即可。

解析：（1）令， ，得.

记， ，则，

当时， ，

当时， ，

由此可知在区间上单调递减，在区间上单调递增，

且， .

又，

故当时， 在区间上无零点.　

当或时， 在区间上恰有一个零点.

当时， 在区间上有两个零点.

（2）在区间（）上存在一点，使得成立等价于函数在区间上的最小值小于零.

.

①当，即时， 在区间上单调递减，所以的最小值为，

由，可得，

∵，∴.

②当，即时， 在区间上单调递增，所以的最小值为，

由，可得.　

③当，即时，可得的最小值为，

∵，∴， ，

此时不成立.

综上所述，实数的取值范围是.