题目内容

某单位举行抽奖活动，每个员工有一次抽奖机会．抽奖箱中放有6个相同的乒乓球，其中三个球上标有数字1，两个球上标有数字2，还有一个球上标有数字3，每个抽奖者从中一次抽出两个球，记两个球上所标数字的和为X，奖项及相应奖品价值如下表：
奖项一等奖二等奖三等奖
X 5 4或3 2
奖品价值（元） 200 100 50
（1）求某员工获一等奖的概率；
（2）求某员工所获奖品价值Y（元）的概率分布；
（3）该单位有员工30人，试估计该单位需要准备价值多少元的奖品？

解：（1）∵抽奖箱中放有6个相同的乒乓球，其中三个球上标有数字1，两个球上标有数字2，
还有一个球上标有数字3，
我们记标有数字1的球为A1，A2，A3，标有数字2的球为B1，B2，标有数字3的球为C
则从中一次抽出两个球共有C₆²=15种不同的抽法
其中抽中一等将的事件有（B1，C），（B2，C）两种，
故某员工获一等奖的概率P= $\text{[math]}$
（2）由（1）可得某员工所获奖品价值200元奖品的概率P（ξ=200）= $\text{[math]}$
又∵抽中二等将的事件有（A1，C），（A2，C），（A3，C），（B1，B2）
（A1，B1），（A2，B1），（A3，B1），（A1，B2），（A2，B2），（A3，B2），十种，
∴某员工所获奖品价值100元奖品的概率P（ξ=100）= $\text{[math]}$
又∵抽中三等将的事件有（A1，A2），（A1，A3），（A2，A32），三种，
∴某员工所获奖品价值100元奖品的概率P（ξ=50）= $\text{[math]}$
（3）由（2）中结论可得某员工所获奖品价值的数学期望E（ξ）=200• $\text{[math]}$ +100• $\text{[math]}$ +50• $\text{[math]}$ =103 $\text{[math]}$
∵该单位有员工30人
∴该单位需要准备奖品的价值约为103 $\text{[math]}$ ×30=3100元
分析：（1）由已知中抽奖箱中放有6个相同的乒乓球，其中三个球上标有数字1，两个球上标有数字2，还有一个球上标有数字3，根据抽中一等奖时，两数数字和为5，我们分析出所有基本事件总数及满足条件的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式即可得到答案．
（2）根据获二等奖时，两数数字和为4或3，获三等奖时，两数数字和为2，类比（1）中思路，我们分析出所有基本事件总数及满足条件的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式即可得到答案．
（3）根据（2）中随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式，我们可以求出某员工所获奖品价值Y（元）的数学期望，再根据单位有员工30人，即可估计出单位需要准备价值多少元的奖品．
点评：本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，随机变量的分布列，随机变量的数学期望，其中熟练掌握古典概型概率的计算方法：先计算出所有事件的个数，再求出满足条件的基本事件个数，进而代入公式，求出概率，是解答本题的关键．