题目内容

已知数列{an}与{bn}有如下关系：a1=2，an+1=
1
2
（an+
1
an
），bn=
an+1
an-1
．
（1）求数列{bn}的通项公式．
（2）设Sn是数列{an}的前n项和，当n≥2时，求证：Sn＜n+
4
3
．
（1）∵bn=
an+1
an-1
．
∴b1=
a1+1
a1-1
=3，
∵an+1=
1
2
（an+
1
an
），
∴bn+1=
an+1+1
an+1-1
=(
an+1
an-1
)2=
b2n
＞0
∴bn=
b2n-1
=…=32n-1
（2）证明：当n≥2时，an+1-1=
an-1
32n-1+1
≤
1
10
(an-1)
（当且仅当n=2时取等号）且a2=
1
2
(a1+
1
a1
)=
5
4

故a3-1≤
1
10
(a2-1)，a4-1≤
1
10
(a3-1)，…，an-1≤
1
10
(an-1-1)
以上式子累和得Sn-a1-a2-(n-2)≤
1
10
[Sn-1-a1-(n-2)]
∴10[Sn-a1-a2-（n-2）]≤Sn-1-a1-（n-2）
∴9Sn≤
25
2
+9n-
32n-1+1
32n-1-1

∴Sn≤
25
18
+n-
32n-1+1
9(32n-1-1)
＜
25
18
+n-
1
9
=
23
18
+n＜
24
18
+n
∴Sn＜n+
4
3
．得证
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}与{bn}的前n项和分别是Sn和Tn，已知S100=41，T100=49，记Cn=anTn+bnSn-anbn（n∈N*），那么数列{Cn}的前100项和
100i=1
Ci=
 
．
已知数列{an}与{bn}满足bn+1an+bnan+1=（-2）n+1，bn=
3+(-1)n-1
2
，n∈N*，且a1=2．
（Ⅰ）求a2，a3的值
（Ⅱ）设cn=a2n+1-a2n-1，n∈N*，证明{cn}是等比数列
（Ⅲ）设Sn为{an}的前n项和，证明
S1
a1
+
S2
a2
+…+
S2n-1
a2n-1
+
S2n
a2n
≤n-
1
3
（n∈N*）
已知数列{an}与{bn}满足：bnan+an+1+bn+1an+2=0，bn=
3+(-1)n
2
，n∈N*，且a1=2，a2=4．
（Ⅰ）求a3，a4，a5的值；
（Ⅱ）设cn=a2n-1+a2n+1，n∈N*，证明：{cn}是等比数列；
（Ⅲ）设Sk=a2+a4+…+a2k，k∈N*，证明：
4n
k=1
Sk
ak
＜
7
6
(n∈N*)．
已知数列{an}与{bn}有如下关系：a1=2，an+1=
1
2
an，bn=
an+1
an-1
则数列{bn}的通项公式为
 
．
已知数列{an}与{bn}有如下关系：a1=2，an+1=
1
2
（an+
1
an
），bn=
an+1
an-1
．
（1）求数列{bn}的通项公式．
（2）设Sn是数列{an}的前n项和，当n≥2时，求证：Sn＜n+
4
3
．

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