Question

16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中C角为钝角．cos（A+B-C）=$\frac{1}{4}$，a=2，$\frac{{sin（{B+A}）}}{sinA}$=2．
（1）求cosC的值；
（2）求b的长．

Answer 1

分析 （1）利用三角形内角和定理及诱导公式可得-cos2C=$\frac{1}{4}$，由倍角公式化简即可求得cosC的值．
（2）由已知及由正弦定理可得c，由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，即可解得b的值．

解答 解：（1）∵cos（A+B-C）=cos[（π-C）-C]=cos（π-2C）=-cos2C=$\frac{1}{4}$，
∴解得：cos2C=2cos²C-1=-$\frac{1}{4}$，解得：cos²C=$\frac{3}{8}$，由C角为钝角，解得：cosC=-$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
（2）∵$\frac{{sin（{B+A}）}}{sinA}$=2，a=2，
∴可得sinC=2sinA，由正弦定理可得：c=2a=4，
∴由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，可得：16=4+b²-2×$2×b×（-\frac{\sqrt{6}}{4}）$，解得：b=$\sqrt{6}$．

点评 本题主要考查了三角形内角和定理，诱导公式，倍角公式，正弦定理，余弦定理的应用，熟练掌握公式是解题的关键，属于中档题．