Question

已知：f_n（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，且数列{a_n}成等差数列．
（1）当n为正偶数时，f_n（-1）=n，且a₁=1，求数列{a_n}的通项；
（2）试比较fn(

1

2

)与3的大小．

Answer 1

分析：（1）利用已知条件，写出f（1），f（-1）的表达式，结合等差数列的前n项和公式和等差数列的性质，列方程求出a₁、d，进而写出a_n．
（2）利用错位相减法先求出f_n（

1

2

），再利用不等式的有关性质，结合数列的单调性和极限的思想，即可得出fn(

1

2

)比3小．

解答：解：（1）若n为偶数，则-a₁+a₂-a₃+…-a_n-1+a_n=n
设{a_n}的公差为d，则

1

2

dn=n，所以，d=2．
又∵a₁=1，
∴a_n=2n-1．（6分）
（2）fn(

1

2

)=1(

1

2

)+3(

1

2

)2+…+(2n-1)(

1

2

)n

1

2

fn(

1

2

)=1(

1

2

)2+3(

1

2

)3+…+(2n-3)(

1

2

)n+(2n-1)(

1

2

)n+1
两式相减得：

1

2

fn(

1

2

)=(

1

2

)+2(

1

2

)2+2(

1

2

)3+…+2(

1

2

)n-(2n-1)(

1

2

)n+1
所以，fn(

1

2

)=3-(2n-1)(

1

2

)n-(

1

2

)n-2
所以，fn(

1

2

)＜3．（13分）

点评：本题主要考查数列的递推公式、数列求和以及数列与表达式的综合应用问题，考查学生分析问题、解决问题以及推理论证的能力，是一道难题．