题目内容
x，y，z为非负数，且x+y+z=1，求证：yz+zx+xy≤9xyz．分析：先对x，y，z中有0时进行验证满足条件；当x，y，z都非零时，一定有xyz＞0成立，故可得到
=
+
+
=（
+
+
）+（
+
）+（
+
）+（
+
），再根据均值不等式可得证．
| yz+zx+xy |
| 9xyz |
| 1 |
| 9x |
| 1 |
| 9y |
| 1 |
| 9z |
| 1 |
| 9 |
| 1 |
| 9 |
| 1 |
| 9 |
| y |
| 9x |
| x |
| 9y |
| z |
| 9x |
| x |
| 9z |
| z |
| 9y |
| y |
| 9z |
解答：证明：当x，y，z中有1个或2个是0时，不等式成立；
当x，y，z都是正数时，xyz＞0，
所以
=
+
+
=
+
+
=（
+
+
）+（
+
）+（
+
）+（
+
）
≥
+2×
+2×
+2×
=1（当x=y=z=
时等号成立）
∴yz+zx+xy≤9xyz
得证．
当x，y，z都是正数时，xyz＞0，
所以
| yz+zx+xy |
| 9xyz |
| 1 |
| 9x |
| 1 |
| 9y |
| 1 |
| 9z |
| x+y+z |
| 9x |
| x+y+z |
| 9y |
| x+y+z |
| 9z |
=（
| 1 |
| 9 |
| 1 |
| 9 |
| 1 |
| 9 |
| y |
| 9x |
| x |
| 9y |
| z |
| 9x |
| x |
| 9z |
| z |
| 9y |
| y |
| 9z |
≥
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 9 |
| 1 |
| 9 |
| 1 |
| 9 |
| 1 |
| 3 |
∴yz+zx+xy≤9xyz
得证．
点评：本题主要考查均值不等式的应用．均值不等式在不等式的证明以及求解范围时应用比较广泛，占据非常重要的地位，要熟练掌握．
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