Question

已知椭圆M的两个焦点分别为F₁(-1，0)、F₂(1，0)，P是此椭圆上的一点，且

=0，=8．

(Ⅰ)求椭圆M的方程；

(Ⅱ)点A是椭圆M短轴的一个端点，且其纵坐标大于零，B、C是椭圆M上不同于点A的两点．若△ABC的重心是椭圆M的右焦点，求直线BC的方程．

Answer 1

解：(Ⅰ)设||=m，||=n，由已知可得nm=8．

由·=0，可得PF₁⊥PF₂.则m²+n²=4.

∴(m+n)²=m²+n²+2mn=20．

即(2a)²=20，得a²=5

∴b²=a²-c²=4．

故椭圆M的方程为=1．

(Ⅱ)设B(x₁，y₁)，C(x₂，y₂)，直线BC的斜率为k，BC中点为(x₀，y₀)，F(1，0)．

显然BC不会与x轴垂直，故x₁≠x₂．

则=1．      ①

=1．       ②

①-②

.③

由于F(1，0)是△ABC的重心，

所以=1，得x₀=.

=0，得y₀==-1．

代入③得    k=．

∴直线BC的方程为  6x-5y-14=0．