Question

已知椭圆M的两个焦点分别为F₁(-1,0),F₂(1,0),P是椭圆上的一点,且PF₁⊥PF₂,|PF₁|·|PF₂|=8.

(1)求椭圆M的方程;

(2)点A是椭圆M短轴的一个端点,且其纵坐标大于零,点B、C是椭圆M上不同于点A的两点,其中△ABC的重心是椭圆M的右焦点,求直线BC的方程.

Answer 1

解:(1)设|PF₁|=m,|PF₂|=n,由已知得mn=8,由PF₁⊥PF₂,得m²+n²=4,

∴(m+n)²=m²+n²+2mn=20,即(2a)²=20,得a²=5.

∴b²=a²-c²=4.

故椭圆M的方程为+=1.

(2)设B(x₁,y₁),C(x₂,y₂),直线BC的斜率为k,BC中点为(x₀,y₀),A(0,2).

显然BC不会与x轴垂直,故x₁≠x₂,

则+=1,                              ①

+=1,                               ②

①-②得=.       ③  

由于F₂(1,0)是△ABC的重心,

所以=1,得x₀==,=0,得y₀==-1,

代入③得k=,

∴直线BC的方程为6x-5y-14=0.