Question

【题目】已知函数，.

（Ⅰ）令

①当时，求函数在点处的切线方程；

②若时，恒成立，求的所有取值集合与的关系；

（Ⅱ）记，是否存在，使得对任意的实数，函数在上有且仅有两个零点？若存在，求出满足条件的最小正整数，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）①；②见解析；（2）2

【解析】

（1）①根据导数的几何意义，即可求解切线的方程；②由，即，利用导数求得函数的单调性和最值，即可求解.

（Ⅱ）令 ，，根据题意，由和，及存在，使得，分类讨论，即可求解.

（1）①由题意，可得，

则，所以，

所以在处的切线方程为

②由，即

则，，

因为在上单调递减，所以，

存在，使得，

函数在上单调递增，在上单调递减，，

由得，，

∴，所以的所有取值集合包含于集合.

（Ⅱ）令 ，

（1），，

由于，，，，，

由零点存在性定理可知，，函数在定义域内有且仅有一个零点.

（2），，，，，

同理可知，函数在定义域内有且仅有一个零点.

（3）假设存在，使得，

则，消，得.

令，，所以单调递增.

∵，，∴，

此时，

所以满足条件的最小正整数.