题目内容
【题目】如图，四棱锥
中，底面
为矩形，侧面
为正三角形，
，
，平面
平面，
为棱
上一点（不与
、
重合），平面
交棱
于点
.
（1）求证：
；
（2）若二面角
的余弦值为
，求点到平面
的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）先根据线面平行判定定理得
平面
，再根据线面平行性质定理得结果；
（2）取
的中点
，根据面面垂直性质定理得
平面
，再根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积解得平面
的一个方向量，再利用向量夹角公式以及二面角与向量夹角关系列方程，解得E点坐标，最后根据向量求点面距，即得结果.
（1）
底面为矩形，
.
又
平面，
平面，
平面.
又
平面
，平面
平面
，
.
（2）取的中点，连接
，过点作
交
于点
.
侧面
为正三角形，
.
平面
平面且交线为，
平面，
为矩形，
，
，
如图所示，建立以
，
，
所在直线为
轴，
轴，
轴的空间直角坐标系
，
，
，
，
.
设
，又
，
.
，
.
设平面的法向量为
，
令
，
，
，
平面的一个法向量
.
又易知
是平面
的一个法向量，
，
解得：
，
，
.
又平面的一个法向量
，
点
到平面的距离为：
.
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