Question

如图，已知平面PAB上平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证，△ABC是直角三角形．

Answer 1

答案：略
提示：

证明：(1)在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F，∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC，又PA平面PAC，∴DF⊥AP．作DC⊥AB于G，同理可证DG⊥AP．∵DG、DF在平面ABC内，∴PA上平面ABC．(2)连BE交PC于H，∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE．又已知AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE．∴PC⊥面ABE．∴PC⊥AB．又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．(1)已知两个平面垂直时，过其中一个平面的一点作交线的垂线，则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直于另一个平面；于是面面垂直转化为线面垂直，由此得到：两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．(2)第(2)问的关键是要灵活利用第(1)问的结论．