Question

如图，已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．

(1)求证：PA上平面ABC；

(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．

Answer 1

答案：略
解析：

证明：(1)在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F，平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC，PA平面PAC， ∴DF⊥AP． 作DG⊥AB于G，同理可证DG⊥AP． DG、DF都在平面ABC内． ∴PA⊥平面ABC． (2)连结BE并延长交PC于H， ∵E是△PBC的垂心， ∴PC⊥BE． 又已知AE是平面PBC的垂线， ∴PC⊥BH，∴PC⊥面ABE．∴PC⊥AB， 又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB， ∴AB⊥平面PAC， ∴AB⊥AC．即△ABC是直角三角形．