Question

【题目】小明准备利用暑假时间去旅游，妈妈为小明提供四个景点，九寨沟、泰山、长白山、武夷山．小明决定用所学的数学知识制定一个方案来决定去哪个景点：（如图）曲线 和直线 交于点 ．以 为起点，再从曲线 上任取两个点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为 ．若 去九寨沟；若 去泰山；若 去长白山； 去武夷山．

（1）若从 这六个点中任取两个点分别为终点得到两个向量，分别求小明去九寨沟的概率和不去泰山的概率；
（2）按上述方案，小明在曲线 上取点 作为向量的终点，则小明决定去武夷山．点 在曲线 上运动，若点 的坐标为 ，求 的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可知得到向量组合方式共有：

共15种

设事件“去九寨沟”=B，“不去泰山”=C

则去九寨沟即ξ>0：

共4种

去泰山即=0，

共4种

（2）解：由题意：小明去武夷山即

故可设

上式几何意义：圆 上的点与点（6，3）的距离

上式的最大值即点 距离的最大值，即圆心 的距离再加半径

即

所以

【解析】(1)由题意列出所有可能的事件结合古典概率型公式可求得概率。(2)根据题意结合向量的数量积的运算公式可得出A7,A8关于原点对称，借助向量的坐标关系可求得三个向量和的模长为圆 x2 + y2 = 1 上的点与点（6，3）的距离，由几何意义可得到上式的最大值即点 ( x , y ) 与 ( 6 , 3 ) 距离的最大值，即圆心 ( 0 , 3 ) 与 ( 6 , 3 ) 的距离再加半径，代入数值计算出结果。
【考点精析】解答此题的关键在于理解点和圆的三种位置关系的相关知识，掌握圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r．