题目内容

要获得某项英语资格证书必须依次通过听力和笔试两项考试，只有听力成绩合格时，才可继续参加笔试的考试．已知听力和笔试各只允许有一次不考机会，两项成绩均合格方可获得证书．现某同学参加这项证书考试，根据以往模拟情况，听力考试成绩每次合格的概率均为 $数学公式$ ，笔试考试成绩每次合格的概率均为 $数学公式$ ，假设各次考试成绩合格与否均互不影响．
（1）求他不需要补考就可获得证书的概率；
（2）求他恰好补考一次就获得证书的概率；
（3）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求参加考试次数ξ的分布列和期望值．

解：设“听力第一次考试合格”为事件A₁，“听力补考合格”为事件A₂；“笔试第一次考试合格”为事件B₁“笔试补考合格”为事件B₂．（1分）
（1）不需要补考就获得证书的事件为A₁•B₁，注意到A₁与B₁相互独立，
则P（A₁•B₁）=P（A₁）×P（B₁）= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．A₁•B₁
答：该考生不需要补考就获得证书的概率为 $\text{[math]}$ ．（3分）
（2）恰好补考一次的事件是 $\text{[math]}$ （4分）
则P（ $\text{[math]}$ ）=P（ $\text{[math]}$ ）+P（ $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （7分）
（3）由已知得，ξ=2，3，4，（8分）
注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得
P（ξ=2）=P（A₁•B₁）+P（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （10分）
P（ξ=3）=P（A₁• $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ）+P（ $\text{[math]}$ •A₂•B₂）= $\text{[math]}$ （12分）
P（ξ=4）=P（ $\text{[math]}$ •A₂• $\text{[math]}$ •B₂）+P（ $\text{[math]}$ •A₂• $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （13分）
参加考试次数ξ的期望值 $\text{[math]}$ （14分）
分析：设“听力第一次考试合格”为事件A₁，“听力补考合格”为事件A₂；“笔试第一次考试合格”为事件B₁“笔试补考合格”为事件B₂
（1）不需要补考就获得证书的事件为．A₁•B₁，且A₁与B₁相互独立，根据相互独立事件的概率公式可求
（2）他恰好补考一次就获得证书，即为事件 $\text{[math]}$ ，根据相互独立事件与互斥事件的概率公式可求
（3）由已知得，ξ=2，3，4
而ξ=2即为 $\text{[math]}$ ξ=3 即为 A₁• $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ •A₂•B₂
ξ=4，即为 $\text{[math]}$ •A₂• $\text{[math]}$ •B₂+ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$
点评：本题主要考查了相互独立事件的概率的求解公式的运用：若事件A，B相互独立，则A与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；P（AB）=P（A）P（B）；还考查了对一些复杂事件的分解：即对一个事件分解成几个互斥事件的和，本题是把相互独立与互斥结合的综合考查．